Dualsystem in Step7
Der Zahlenumfang, der darstellbar ist, hängt von der Wortlänge der Dualzahlen ab:
Dualzahlen in der Darstellungsweise 4 Bit, die Zahlengrenze liegt bei 24 - 1 = 1510.
| Dezimalzahl | Dualzahl |
|---|---|
| 0 | 0000 |
| 1 | 0001 |
| 2 | 0010 |
| 3 | 0011 |
| 4 | 0100 |
| 5 | 0101 |
| 6 | 0110 |
| 7 | 0111 |
| 8 | 1000 |
| 9 | 1001 |
| 10 | 1010 |
| 11 | 1011 |
| 12 | 1100 |
| 13 | 1101 |
| 14 | 1110 |
| 15 | 1111 |
Dualzahlen in der Darstellungsweise 8 Bit bzw. 1 Byte, die Zahlengrenze liegt bei 28 - 1 =25510
| Dezimalzahl | Dualzahl |
|---|---|
| 0 bis 255 | 0000 0000 bis 1111 1111 |
Dualzahlen in der Darstellungsweise 16 Bit oder 2 Byte / 1 Wort, die Zahlengrenze liegt bei 216 - 1 =6553510
| Dezimalzahl | Dualzahl |
|---|---|
| 0 bis 65535 | 0000 0000 0000 0000 bis 1111 1111 1111 1111 |
Einerkomplement / 1er-Komplement
Das 1er-Komplement einer Dualzahl wird gebildet indem man die Dualzahl bitweise negiert. Es werden also alle dualen "1" gegen "0" getauscht und alle dualen "0" gegen "1".
Beispiel: 10102 (Dualzahl) = 01012 (1er-Komplement von 10102)
Zweierkomplement / 2er-Komplement
Ein besonderes Verfahren zu Darstellung von negativen Dualzahlen ist die Zweierkomplement-Methode. Eine negative Zahl wird so notiert, dass sie in Addition mit der betragsgleichen positiven Dualzahl Null ergibt. Positive Dualzahlen haben als vorderstes (links) Bit die "0", negative Dualzahlen die "1". Negative und positive Dualzahlen können ohne Beachtung der Vorzeichen miteinander verrechnet werden. Die Bildung des Zweierkomplements der mit xxx gekennzeichneten dualen negativen "5" in obiger Abbildung wird so vorgenommen:
- 510 = 01012 (vorzeichenbehaftete Dualzahl - positive Dualzahl 5)
- 01012 wird bitweise negiert -> 10102 (1er-Komplement gebildet)
- dann eine 12 dazu addieren -> 10112 (2er-Komplement gebildet - vorzeichenbehaftete negative Dualzahl -5) = -510
- +510 = 01012
- -510 = 10112
10112 (-510) addiert mit 01012 (+510) ergibt 0. Diese Addition muß als vorzeichenbehaftete duale Addition betrachtet werden.
| 11012 |
| + | 01012 |
| = | 100002 |
Das duale vorzeichebehaftete Ergebnis 1 00002 nach dezimal umgewandelt ergibt -010
Es gelten folgende Regeln für die Zweierkomplement-Arithmetik:
1. Regel: Das höchstwertigste Bit kennzeichnet das Vorzeichen der Dualzahl.
VZ-Bit 0 = positive Dualzahl
VZ-Bit 1 = negative Dualzahl
VZ-Bit = Vorzeichenbit
2. Regel: Positive Dualzahlen werden entsprechend dem Dualcode notiert. Die größte darstellbare positive Zahl ist erreicht, wenn alle nachrangigen Stellenwertigkeiten mit Einsen besetzt sind, z.B. für 8 Bit-Zahlen die Zahl 0111 11112 (=12710).
Beispiele:
0000 00002 = Zahl 010, 0000 00012 = Zahl +110, 0111 11102 = Zahl +12610, 0111 11112 = Zahl +12710
3. Regel: Negative Dualzahlen werden entsprechend ihrem Zweierkomplement notiert. Die größte darstellbare negative Dualzahl ist erreicht, wenn all nachrangigen Stellenwertigkeiten mit Null besetzt sind, z.B. für 8 Bit-Zahlen die Zahl 1000 00002 (= -12810).
Beispiele:
0000 00002 = Zahl 010, 1111 11112 = Zahl -110, 1000 00012 = Zahl -12710, 1000 00002 = Zahl -12810
Das Zweierkomplement X* ist eine Ergänzung einer n-stelligen Dualzahl X zur Höchstzahl 2n. X* = 2n - X
Durch echte Subtraktion oder durch Anwendung einer Regel kann die Ergänzungszahl X* ermittelt werden. Die Regel lautet:
X* = X(neg) + 1
X(neg) bedeutet alle Stellen der Zahl X invertieren (= Einerkomplement).
Die Ergänzungszahl X* besitzt die besondere Eigenschaft dass X + X* = 0 mit Übertrag = 1 ist.
Zur Veranschaulichung noch einmal eine Übersicht über die Darstellung von positiven und negativen Zahlenwerten im Dualsystem für ganzzahlige (integere) vierstellige Dualzahlen:
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