Umrechnung von Dual nach Dezimal bei positiven Ganzzahlen

Beispiel für die Umrechnung der Dualzahl 1010₂ in die Dezimalzahl 10₁₀

Die Ziffern werden mit ihren Stellenwertigkeiten ausmultipliziert und die Ergebnisse werden addiert.

Potenzen dual	2³	2²	2¹	2⁰
Dualzahl	1	0	1	0
Potenzen dezimal	8(2³ =2x2x2)	4(2² =2x2)	2(2¹ =2)	1(2⁰ =1)
zu addierende Werte	8	0	2	0
Ergebnis Dezimalzahl	10

Umrechnung von Dual nach Dezimal bei positiven gebrochenen Zahlen

Beispiel für die Umrechnung der Dualzahl 10.11₂ in die Dezimalzahl 2.75₁₀

Die Ziffern vor dem Komma werden mit ihren Stellenwertigkeiten im Dualsystem multipliziert und die Ergebnisse werden addiert.

Die Ziffern werden mit ihren Stellenwertigkeiten nach dem Komma ausmultipliziert und die Ergebnisse werden addiert.

Potenzen dual	2¹	2⁰	Komma	2^-1	2^-2
Dualzahl	1	0	.	1	1
Potenzen dezimal	2(2¹ =2)	1(2⁰ =1)	.	0,5(2^-1 =0,5)	0,25(2^-2 =0,25)
zu addierende Werte	2	0	.	0.5	0.25
Ergebnis Dezimalzahl	2,75

Gegenüberstellung von gebrochenen Dezimalzahlen und gebrochenen Dualzahlen

gebrochene Dezimalzahl	gebrochene Dualzahl
0.53	Ist nicht exakt darstellbar im Dualsystem, kann nur durch einen Näherungswert dargestellt werden. Der Näherungswert für die gebrochene Dezimalzahl 0.53 ist die gebrochene Dezimalzahl 0.5299999713897705. Dieser Näherungswert ist im Dualsystem darstellbar nach den Regeln für Gleitpunktzahlen nach IEEE 754. Die gebrochene Dezimalzahl 0.53 ergibt also folgende in 32 Bit Länge dargestellte binäre Gleitpunktzahl: 0 0111 1110 0000 1111 0101 1100 0010 100
0.5	Die gebrochene Dezimalzahl 0.5 ist im Dualsystem exakt darstellbar und entspricht der Zweierpotenz 2^-1, also der gebrochenen Dualzahl 0.1
0.3	Ist nicht exakt darstellbar im Dualsystem, kann nur durch einen Näherungswert dargestellt werden. Der Näherungswert für die gebrochene Dezimalzahl 0.3 ist die gebrochene Dezimalzahl 0.30000001192092896. Dieser Näherungswert ist im Dualsystem darstellbar nach den Regeln für Gleitpunktzahlen nach IEEE 754. Die gebrochene Dezimalzahl 0.3 ergibt also folgende in 32 Bit Länge dargestellte binäre Gleitpunktzahl: 0 0111 1101 0011 0011 0011 0011 0011 010
0.25	Die gebrochene Dezimalzahl 0.25 ist im Dualsystem exakt darstellbar und entspricht der Zweierpotenz 2^-2, also der gebrochenen Dualzahl 0.01
0.125	Die gebrochene Dezimalzahl 0.125 ist im Dualsystem exakt darstellbar und entspricht der Zweierpotenz 2^-3, also der gebrochenen Dualzahl 0.001
0.0625	Die gebrochene Dezimalzahl 0.0625 ist im Dualsystem exakt darstellbar und entspricht der Zweierpotenz 2^-4, also der gebrochenen Dualzahl 0.0001
0.1875	Die gebrochene Dezimalzahl 0.1875 ist im Dualsystem exakt darstellbar und entspricht der Summe der Zweierpotenzen 2^-3 und 2^-4, also der gebrochenen Dualzahl 0.0011

Im Dualsystem können nur die Werte exakt dargestellt werden, die den negativen Zweierpotenzen entsprechen bzw. der Summe mehrerer negativer Zweierpotenzen.

Umrechnungsarten von Dezimal nach Dual bei positiven Ganzzahlen

Bei der Umrechnung von Dezimalzahlen in Dualzahlen gibt es zwei Verfahrensweisen:

a) Nach dem Restwertalgorithmus wird die Dezimalzahl durch die Basis 2 dividiert und der Quotient und der Rest, 0 oder 1, werden notiert. Der Rest 1 ergibt sich immer dann wenn die positive dezimale Ganzzahl nicht durch die Basis 2 teilbar ist, also bei allen ungeraden positiven Dezimalzahlen. Der Quotient wird erneut durch die Basis dividiert und wieder wird ein Quotient und der Rest gebildet. Dieses Verfahren setzt man so lange fort bis der Quotient 0 wird.

Verfahrensweise am Beispiel der 10₁₀:

10 : 2 = 5, Rest 0 -> 1. Stelle links vom Komma

5 : 2 = 2, Rest 1 -> 2. Stelle links vom Komma

2 : 2 = 1, Rest 0 -> 3. Stelle links vom Komma

1 : 2 = 0, Rest 1 -> 4.Stelle links vom Komma

Jetzt schreibt man die Dualzahl auf: 1010₂. (Übungen)

b) Bei dem Verfahren durch die Darstellung in Zweierpotenzen wird von der Zahl die größtmöglichste Zweierpotenz subtrahiert und dann die Ziffer 1 an die entsprechende Stelle der Dualzahl notiert. Nun subtrahiert man vom Rest die nächst kleinere Zweierpotenz, die zu einem positiven Ergebnis führt. An der entsprechenden Stelle der Dualzahl wird eine 1 notiert.

Verfahrensweise am Beispiel der 10₁₀:

Die größte mögliche Zweierpotenz bei der Dezimalzahl 10₁₀ ist die 2³ = 8. Also muß man an der vierten Stelle links vom Komma, an der Stelle der 2³ , eine 1 schreiben. 10 - 8 = 2, das nächste positive Ergebnis. 2¹ = 2. Demzufolge steht also an der zweiten Stelle links vom Komma eine 1. Die 10₁₀ ist nun komplett in Zweierpotenzen zerlegt und man kann die Dualzahl notieren, 1010₂. (Übungen)

Tabellarische Übersicht über die Zusammenhänge zwischen Dezimalsystem und Dualsystem am Beispiel der Dualzahl 1111 11112, die dem dezimalen Zahlenwert 25510 entspricht.

Dualzahl	1₂	1₂	1₂	1₂	1₂	1₂	1₂	1₂
Potenz	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
Stelle links vom Komma	8.	7.	6.	5.	4.	3.	2.	1.
Zahlenwert dezimal	128₁₀	64₁₀	32₁₀	16₁₀	8₁₀	4₁₀	2₁₀	1₁₀

Erklärung: Zum besseren Verständnis und der Übersicht halber wird hier die Zuordnung der Dualzahlen und der Dezimalzahlen zum jeweiligen Zahlensystem mit Wörtern dargestellt. 1₂ ist das gleiche wie 1_dual im dualen Zahlensystem, 4₁₀ ist gleichbedeutend mit 4_dezimal im Dezimalsystem.

In der Zeile Dualzahl ist die duale 1 dargestellt und nicht die duale 0 da man sonst in der Zeile Zahlenwert dezimal das Ergebnis 0 erhielte -> z.B. letzte Spalte, 1_dual (Stellenwert erste Stelle links vom Komma) multipliziert mit der Potenz 2⁰ ergibt 1_dezimal, 0_dual hingegen multipliziert mit der Potenz 2⁰ ergäbe in der Zeile Zahlenwert dezimal den Wert 0_dezimal.

In der 2. Spalte von links wird die duale 1₂ gemäß ihrem Stellenwert (achte Stelle links vom Komma) mit der Potenz für diesen Stellenwert, 2⁷, multipliziert. Also -> 1_dual multipliziert mit Potenz 2⁷ ergibt den dezimalen Wert 128_dezimal. Stände hingegen an diesem dualen Stellenwert eine duale 0_dual, wäre der dezimale Wert für diese Stelle 0_dezimal. Also -> 0_dezimal multipliziert mit der Potenz 2⁷ ergibt 0_dezimal.

Erklärung der Tabelle:

In der Zeile Dualzahl ist die duale 1111 1111_dual dargestellt. Jede 1_dual steht in einer eigenen Spalte gemäß ihrem Stellenwert im dualen System.

In der Zeile Potenz ist die dem Stellenwert im dualen System zugehörige Potenz dargestellt.

In der Zeile Stelle links vom Komma ist dargestellt an welcher Stelle die duale Zahl sich befindet.

In der Zeile Zahlenwert dezimal ist die Dezimalzahl dargestellt, die der jeweiligen Potenz an dieser Stelle entspricht. 2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, 2³ =8, 2⁴=16 usw.

Umrechnung von Dezimal nach Dual bei positiven gebrochenen Zahlen

Bei gebrochenen Dezimalzahlen werden die Stellen links vom Komma nach Dual genauso umgewandelt wie bei den Ganzzahlen. Die Stellen rechts vom Komma können nur dann direkt umgewandelt werden, wenn sie sich aus der Summe der Potenzen 2^-1 + 2^-2 + .... 2^-n, also 0,5₁₀ + 0,25₁₀ + .... 0,n , errechnen lassen. Ergibt sich die Nachkommastelle nicht aus der Summe der Potenzen 2^-1 + 2^-2 + .... 2^-n , dann muß die Nachkommastelle gerundet werden.

Beispiele für die Umrechnung von gebrochenen Dezimalzahlen in gebrochene Dualzahlen.