Multiplikation gebrochener Dualzahlen

Erklärung der Multiplikation von 10.1₂ x 100.01₂ im Dualsystem:

im Dezimalsystem: 2,5₁₀ x 4,25₁₀ = 10,625₁₀

im Dualsystem: 10.1₂ x 100.01₂ = 1010.101₂

Zu beachten ist, das mit den Nachkommastellen von gebrochenen Dualzahlen nicht jede gebrochene Zahl dargestellt werden kann im Gegensatz zu gebrochenen Dezimalzahlen. Die Nachkommastellen von gebrochenen Dualzahlen bestehen immer aus den Summen von Zweierpotenzen (angefangen von 2^-1 bis 2^-n). Die Nachkommastelle oben im Beispiel ( ,625₁₀ ) kann zerlegt werden in die Werte 0,5₁₀ und 0,125₁₀. Diese beiden Werte entsprechen den Zweierpotenzen 2^-1 (0,5₁₀) und 2^-3 (0,125₁₀), dual also .101.

schrittweise Erklärung der Multiplikation von 10.1₂ x 100.01₂:

Als erstes wird das Komma verschoben und zwar um zwei Stellen nach rechts, aus der Zahl 100.01₂ wird die Zahl 10001₂ und aus der Zahl 10.1₂ wird die Zahl 1010₂. Um aber im Ergebnis das Komma wieder an die richtige Stelle zu setzen wird zusätzlich noch eine Nebenrechnung durchgeführt, man multipliziert die Zahlen links vom Komma aus der Aufgabenstellung miteinander. Die Nebenrechnung lautet also: 10₂ x 100₂ = 1000₂. Somit weiß man wo im Ergebnis das Komma gesetzt werden muß. In diesem Fall hat das Ergebnis 4 Stellen links vom Komma.

Nun werden nach den Regeln für die Multiplikation von Dualzahlen die beiden Dualzahlen 10001₂ und 1010₂ miteinander multipliziert.

1010₂ x 10001₂

Als Zwischenergebnis erhält man die Dualzahl 1010 1010₂. Jetzt muß man das Komma wieder an die richtige Stelle setzen und dabei hilft uns die Nebenrechnung. Aus der Nebenrechnung wissen wir das links vom Komma vier Stellen sind. Das bedeutet das aus dem Zwischenergebnis 1010 1010₂ das Endergebnis 1010.1010₂ wird. Die letzte Null kann weggelassen werden -> 1010.101₂

Um diese Rechnung nachzuprüfen wandeln wir die Dualzahl 1010.101₂ in eine Dezimalzahl um und erhalten 10,625₁₀.

2,5₁₀ x 4,25₁₀ = 10,625₁₀

Aufgabenstellung: Multiplikation der gebrochenen Dualzahlen 1111.0111₂ und 11.101₂

1111.0111₂ x 11.101₂

Nebenrechnung: 1111₂ x 11₂ = 10 1101₂ Daraus folgt das im Endergebnis dieser Multiplikation links vom Komma die Dualzahl 6 Stellen hat.

Komma verschieben:

aus 1111.0111₂ wird 1111 0111₂

aus 11.101₂ wird 11 1010₂

Das Komma muß um 4 Stellen nach rechts verschoben werden.