Dualzahlen umrechnen: Positive Ganzzahlen nach Dezimalzahlen umrechnen

Beim Rechnen von Dualzahlen und Dezimalzahlen hat man das Problem, dass in beiden Zahlensystemen die Ziffern 0 und 1 vorkommen. Damit man Dualzahlen von Dezimalzahlen unterscheiden kann, werden sie unterschiedlich gekennzeichnet. Dualzahlen werden mit einer tiefgestellten ₂ gekennzeichnet, z.B. 100₂. Alternativ könnte man Dualzahlen auch mit dem tiefgestellten Zusatz _dual kennzeichnen, z.B. 100_dual. Dezimalzahlen werden einer tiefgestellten ₁₀ gekennzeichnet, z.B. 125₁₀. Alternativ kann man Dezimalzahlen auch mit dem tiefgestellten Zusatz _dezimal kennzeichnen, z.B. 125_dezimal.

Dualzahlen können in Dezimalzahlen umgerechnet werden. Ein Beispiel zur Veranschaulichung der Umrechnung von Dualzahlen: Die Dualzahl 1011₂ soll in die Dezimalzahl umgerechnet werden.

Vorgehensweise: Zuerst multipliziert man die Ziffern mit dem Stellenwert aus. Danach addiert man die Teilergebnisse.

In der Zeile Dualzahl sind die dualen Ziffern 0 oder 1 dargestellt. In der Zeile "zu addierende Werte" sind die Dezimalwerte zu den dualen Ziffern enthalten. Je nachdem, ob die duale Ziffer eine 0 oder 1 ist, erhält man als Dezimalwert eine 0 oder einen anderen Dezimalwert. 0_dual multipliziert mit dem Stellenwert ergibt immer den Dezimalwert 0_dezimal. 1_dual multipliziert mit dem Stellenwert ergibt einen Wert und ist somit abhängig von der Stelle der dualen Ziffer in der Ziffernfolge.

Der Stellenwert der dualen Ziffer 1_dual in der 4. Spalte von rechts ist 2³. Möchte man die Wertigkeit dieser Ziffer ermitteln, muss man 1 · 2³ oder 1 · 2 · 2 · 2 rechnen. Das Ergebnis wäre 8_dezimal. Würde hier stattdessen die Ziffer 0_dual stehen, würde das 0_dezimal ergeben. Denn, 0 · 2³ = 0.

Tabelle mit den dazugehörigen Dezimalwerten für die Dualzahl 1111 1111₂

Die Wertigkeit einer Ziffer innerhalb einer Ziffernfolge im Dualsystem nimmt von rechts nach links zu. Deutlich wird das anhand des Beispiels mit der Dualzahl 1111 1111₂, dessen Dezimalwert 255₁₀ ist.

In der Zeile Dualzahl ist wieder eine Dualzahl, in diesem Fall 1111 1111₂, dargestellt. Jede Ziffer in der Ziffernfolge hat, abhängig von der Stelle in der Ziffernfolge, einen entsprechenden Wert, der als Dezimalwert dargestellt werden kann.

Den Stellenwert der dualen Ziffer kann man in der Zeile Potenz ablesen. Der Stellenwert beginnt (von rechts) mit 2⁰ und mit jeder weiteren Stelle nach links wird der Exponent um 1 erhöht, also 2¹, 2², 2³ usw.

Die Stelle in der Ziffernfolge entscheidet im Grunde über die Wertigkeit der Ziffer. Dabei ist die Ziffer ganz rechts die 1. Ziffer in der Ziffernfolge und erhöht sich bei jeder Stelle nach links um 1.

Den Dezimalwert der dualen Ziffer kann man in der Zeile Zahlenwert dezimal ablesen. Der Dezimalwert entspricht immer der dualen Ziffer, multipliziert mit dem Stellenwert. Also 1 · 2⁰, 1 · 2¹, 1 · 2² usw. Dabei wird deutlich, dass der Dezimalwert sich mit jeder Stelle nach links verdoppelt. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 und 128. Das Ergebnis aller Dezimalwerte zusammen ist 255_dezimal.

Man kann auch positive, gebrochene Dualzahlen nach Dezimalzahlen umrechnen.

Vorgehensweise: Auch hierbei werden die Ziffern mit den Stellenwerten ausmultipliziert. Danach werden die Teilergebnisse addiert. Zu beachten ist dabei, dass die Stellenwerte der Dualzahlen vor dem Komma kleiner als 1 sind und pro Stelle nach rechts um die Hälfte abnimmt. Die erste Ziffer rechts vom Komma hat den Stellenwert 0,5, die zweite Ziffer 0,25, die dritte Ziffer 0,125 usw.

Eine gute Frage ist: Warum hat z.B. die erste Ziffer rechts vom Komma einen Wert von 0,5 und die nächsten Ziffern jeweils die Hälfte? Die Basis im Dualsystem ist 2 und spiegelt die Anzahl der Ziffern (0 und 1) im Ziffernvorrat wieder. Der Stellenwert wird durch den Potenzen der Basis 2 gebildet. Die erste Stelle links vom Komma hat den Stellenwert 2⁰. Die erste Stelle rechts vom Komma beginnt mit 2^-1. Der Exponent ist also negativ. Für jede Stelle rechts vom Komma wird der negative Exponent um 1 erhöht, also 2^-2, 2^-3, 2^-4 usw. Wenn man z.B. die erste Stelle rechts vom Komma betrachtet und die Potenz 2^-1 ausrechnet, dann erhält man 0,5 (1 : 2). Bei 2^-2 erhält man 0,25 (1 : 2²), bei 2^-3 ist das Ergebnis 0,125 (1 : 2³) usw.

Man kann hier auch die Dezimalzahlen vergleichen. Hat man z.B. eine Dezimalzahl 10,5, dann wird der Wert der ersten Ziffer rechts vom Komma gebildet, indem man die Ziffer mit dem Stellenwert multipliziert. Der Stellenwert im Dezimalsystem wird mit den Potenzen der Basis 10 gebildet, also 10^-1, 10^-2, 10^-3 usw. 10^-1 ergibt 0,1. Diese Zahl multipliziert man in diesem Beispiel mit 5 und erhält die Dezimalzahl 0,5. Die prinzipielle Herangehensweise ist beim Dualsystem gleich.

Ein Beispiel zur Veranschaulichung: Die Dualzahl 110.11 soll in eine Dezimalzahl umgerechnet werden.

Man kann natürlich nicht nur Dualzahlen nach Dezimal umrechnen, sondern auch umgekehrt. Für die Umrechnung haben sich zwei Verfahrensweisen etabliert. Die beiden Verfahren nennt man Restwertalgorithmus und Subtraktion der Zweierpotenz. Beide Verfahren unterscheiden sich dahingehend, dass die Ziffern der Dualzahl Stück für Stück in unterschiedlichen Richtungen ermittelt werden. Beim Restwertalgorithmus fängt man mit der 1. Ziffer rechts an und ermittelt die jeweils nächste linke Ziffer. Bei der Subtraktion der Zweierpotenz fängt man mit der 1. linken Ziffer an und ermittelt die jeweils nächste rechte Ziffer.

Restwertalgorithmus: Bei diesem Verfahren dividiert man die Dezimalzahl durch die Basis 2. Danach notiert man den Quotienten und den Rest. Der Rest kann dabei entweder 0 oder 1 sein. Ein Rest von 1 ergibt sich bei positiven dezimalen Ganzzahlen, wenn diese nicht durch die Basis von 2 teilbar sind. Das betrifft alle ungeraden positiven Dezimalzahlen, also 3, 5, 7, 9 usw. Den Quotienten teilt man solange durch die Basis und notiert den Rest, bis man den Quotienten 0 erhält.

Beispiel für Restwertalgorithmus anhand der Dezimalzahl 100₁₀:

• 100 : 2 = 50, Rest 0: Ziffer für die 1. Stelle (ganz rechts)
• 50 : 2 = 25, Rest 0: Ziffer für die 2. Stelle
• 25 : 2 = 12, Rest 1: Ziffer für die 3. Stelle
• 12 : 2 = 6, Rest 0: Ziffer für die 4. Stelle
• 6 : 2 = 3, Rest 0: Ziffer für die 5. Stelle
• 3 : 2 = 1, Rest 1: Ziffer für die 6. Stelle
• 1 : 2 = 0, Rest 1: Ziffer für die 7. Stelle

Das Ergebnis der Umrechnung mit dem Restwertalgorithmus ist: 1100100₂.

Subtraktion der Zweierpotenzen: Bei diesem Verfahren wird zuerst von der Dezimalzahl die größtmögliche Zweierpotenz (x1) subtrahiert. Danach notiert man die Ziffer 1 an die erste Stelle der Dualzahl. Als nächstes wird vom Rest die nächst kleinere Zweierpotenz subtrahiert. Ist das Ergebnis unter 0, notiert man eine 0 an die nächste Stelle der Dualzahl. Ist das Ergebnis 1 oder größer, notiert man eine 1. Das Verfahren wird so lange durchlaufen, bis man alle kleineren Zweierpotenzen durch hat.

Beispiel für die Subtraktion der Zweierpotenz anhand der Dezimalzahl 100₁₀:

• Größtmögliche Zweierpotenz von 100 ist: 2⁶, 1 · 2⁶ = 64
• Subtrahiere 64 von 100 = 36, 1 als erste Ziffer (ganz links)
• Nächstkleinere Zweierpotenz ist 2⁵, 1 · 2⁵ = 32
• Subtrahiere 32 von 36 = 4, 1 als nächste Ziffer
• Nächstkleinere Zweierpotenz ist 2⁴, 1 · 2⁴ = 16
• Subtrahiere 16 von 4 = unter 0, 0 als nächste Ziffer
• Nächstkleinere Zweierpotenz ist 2³, 1 · 2³ = 8
• Subtrahiere 8 von 4 = unter 0, 0 als nächste Ziffer
• Nächstkleinere Zweierpotenz ist 2², 1 · 2² = 4,
• Subtrahiere 4 von 4 = 0, 1 als nächste Ziffer
• Nächstkleinere Zweierpotenz ist 2¹, 1 · 2¹ = 2
• Subtrahiere 2 von 0 = unter 0, 0 als nächste Ziffer
• Nächstkleinere Zweierpotenz ist 2⁰, 1 · 2⁰ = 1
• Subtrahiere 1 von 0 = unter 0, 0 als nächste Ziffer

Das Ergebnis der Umrechnung durch Subtraktion der Zweierpotenzen ist: 1100100₂.

Mehr Übungen mit Zahlensystemen

Positive gebrochene Dezimalzahlen können ebenfalls nach Dual umgewandelt werden. Hierbei muss man die Stellen links vom Komma und rechts vom Komma trennen. Die Stellen links vom Komma werden wie bei positiven Ganzzahlen umgewandelt. Die Stellen rechts vom Komma lassen sich nur umwandeln, wenn man sie aus der Summe der negativen Potenzen 2^-1, 2^-2, 2^-3 usw. bilden kann.

Beispiele für die Umrechnung von gebrochenen Dezimalzahlen in gebrochene Dualzahlen.

Nicht alle gebrochenen Dezimalzahlen lassen sich exakt in gebrochene Dualzahlen darstellen. Das ist dann der Fall, wenn die Stellen rechts vom Komma nicht aus der Summe der negativen Potenzen 2^-1, 2^-2, 2^-3 usw. errechnen lassen. Häufig kann man lediglich einen Näherungswert ermitteln und muss diese dann runden. Das bedeutet, eine gebrochene Dezimalzahl von 0,5 ist in Dual darstellbar, weil die negative Potenz 2^-1 = 0,5 (1 : 2) ist. Weitere negative Potenzen wären z.B.:

• 2^-2 = 0,25 (1 : 2²)
• 2^-3 = 0,125 (1 : 2³)
• 2^-4 = 0,0625 (1 : 2⁴)
• 2^-5 = 0,03125 (1 : 2⁵)
• 2^-6 = 0,015625 (1 : 2⁶)
• 2^-7 = 0,0078125 (1 : 2⁷)

Einige Beispiele zur Veranschaulichung, ob eine gebrochene Dezimalzahl in Dual dargestellt werden kann.