Dualzahlen: Das binäre Zahlensystem

Die Funktionsweise jedes Computers basiert auf dem Dualsystem. Der Grund ist einfach. Ein Computer kann nur 2 Zustände erkennen. Entweder es fließt Strom oder es fließt kein Strom. Anders ausgedrückt kann ein Computer nur die beiden Zustände AN und AUS erkennen. Das Zahlensystem wird als Dualsystem (nur 2 Zustände) oder Binärsystem bezeichnen.

Eine speicherprogrammierbare Steuerung ist vom Grundprinzip her auch ein Computer. Das Dualsystem hat folgende Merkmale:

• Ziffern: 0, 1. Andere Ziffern wären ungültig.
• Basis: 2, da nur 2 verschiedene Ziffern vorhanden sind.
• Stellenwerte: Potenzen der Basis 2

Das System: Im Dualsystem existieren nur die Ziffern 0 und 1. Andere Ziffern gibt es in diesem Zahlensystem nicht.

Darauf aufbauend beruht das Dualsystem auf der Basis 2. Denn, die Basis bestimmt die Anzahl der Ziffern im Zahlensystem und die Ziffern 0 und 1 ergeben 2 verschiedene Ziffern.

Um die Wertigkeit einer Ziffernfolge zu ermitteln, werden die Stellenwerte durch die Potenzen zur Basis von 2 gebildet. Beim Dualsystem beginnt man dabei mit der Potenz 2⁰. Wie beim Dezimalsystem wird für jede Stelle nach links der Exponent um 1 erhöht. Beispiele:

• Ziffernfolge 1: Ergibt 1, da 1 x 2⁰ = 1 ist.
• Ziffernfolge 11: Ergibt die Dezimalzahl 3, da 1 x 2⁰ = 1 ist und 1 x 2¹ = 2 ist. Die Werte 2 + 1 ergeben zusammen 3.
• Ziffernfolge 111: Ergibt die Dezimalzahl 7, da 1 x 2⁰ = 1 ist, 1 x 2¹ = 2 ist und 1 x 2² = 4 ist. Die Werte 4 + 2 + 1 ergeben zusammen 7.

Bei großen Zahlen hat man bei Dualzahlen eine sehr lange Ziffernfolge. Um eine bessere Übersicht zu haben, teilt man große Dualzahlen in Vierergruppen auf.

Beispiel: 0100 0111 0110 1101₂

Einerkomplement und Zweierkomplement (Darstellung negativer Dualzahlen) sind unter Dualzahlen erklärt. Die Umrechnung von Dualzahlen wird unter Dualzahlen umrechnen erklärt.

Beispiel zur Umrechnung: Die Dualzahl 1010₂ entspricht der Dezimahlzahl 10₁₀. Diesen Zahlenwert erhält man, wenn man jede Ziffer mit ihrem Stellenwert multipliziert und die erhaltenen Produkte addiert.

Am Beispiel der Dualzahl 1010₂ sieht das so aus: Die erste Stelle (von rechts beginnend) ist die duale Null. Um diese ins Dezimalsystem umzurechnen muss man diese Null mit ihrem Stellenwert multiplizieren: 0 x 2⁰ = 0.

Dasselbe macht man nun mit der zweiten Stelle links vom Komma: 1 x 2¹ = 2.
Nun zur dritten Stelle: 0 x 2² = 0.

Nun noch das gleiche mit der vierten Stelle links vom Komma, 1 x 2³ = 8.

Als nächstes addiert man die so erhaltenen Ergebnisse miteinander: 8 + 0 + 2 + 0 = 10.

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