Hexadezimalzahlen umrechnen

Wenn man mit Hexadezimalzahlen und Dezimalzahlen rechnet, steht man vor dem Problem, dass in beiden Zahlensystemen die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vorkommen. Damit man ein Unterscheidungsmerkmal hat, kann man die Ziffern bzw. Ziffernfolgen unterschiedlich kennzeichnen. Hexadezimalzahlen werden mit einer tiefstellten 16 gekennzeichnet, z.B. AF1₁₆. Alternativ könnte man die Zahl auch den tiefgestellten Zusatz _hex kennzeichnen, z.B. AF1_hex. Da das Dezimalsystem auf der Basis 10 beruht, kennzeichnet man Dezimalzahlen mit einer tiefgestellten ₁₀, z.B. 2801₁₀. Alternativ kann man Dezimalzahlen auch mit dem tiefgestellten Zusatz _dez oder _dezimal kennzeichnen, z.B. 2801_dez.

Bei der Betrachtung einer Hexadezimalzahl steht man häufig vor dem Problem, dass man nicht weiß, welchen Zahlenwert in Dezimal mit der Ziffernfolge eigentlich dargestellt werden soll. Man kann natürlich Hexadezimalzahlen umrechnen und so den Dezimalwert ermitteln.

Zur Veranschaulichung soll z.B. die Hexadezimalzahl 2031₁₆ in eine Dezimalzahl umgerechnet werden.

Vorgehensweise: Man multipliziert die Ziffern mit dem Stellenwert aus und addiert die Teilergebnisse.

In der Zeile Hexadezimalzahl sind die hexadezimalen Ziffern 2, 0, 3, 1 dargestellt. In der Zeile "zu addierende Werte" sind die Dezimalwerte zu den hexadezimalen Ziffern enthalten. Je nachdem, ob die Ziffer der Hexadezimalzahl eine 0 oder eine andere Ziffer ist, erhält man als Dezimalwert eine 0 oder einen anderen Dezimalwert. 0₁₆ multipliziert mit dem Stellenwert ergibt immer den Dezimalwert 0₁₀. 1₁₆ multipliziert mit dem Stellenwert ergibt einen Wert und ist somit abhängig von der Stelle der hexadezimalen Ziffer in der Ziffernfolge.

Der Stellenwert der hexadezimalen Ziffer 2₁₆ in der 4. Spalte von rechts ist 16³. Möchte man die Wertigkeit dieser Ziffer ermitteln, muss man die Ziffer mit dem Stellenwert, also 2 · 16³ oder 2 · 16 · 16 · 16 rechnen. Das Ergebnis wäre 8192₁₀. Würde hier stattdessen die Ziffer 1₁₆ stehen, würde das 4096₁₀ ergeben. Denn, 1 · 16³ = 4096.

Der Wert einer Ziffer innerhalb einer Ziffernfolge im Hexadezimalsystem nimmt mit jeder Stelle zu. Das wird anhand des Beispiels einer Hexadezimalzahl 1111 1111₁₆ deutlich. Dessen Dezimalwert ist 286331153₁₀.

Der Wert einer Ziffer ist abhängig von der Stelle in der Ziffernfolge, der einen entsprechenden Dezimalwert hat. Der Stellenwert einer hexadezimalen Ziffer wird in der Zeile Potenz abgelesen, wobei man rechts mit 16⁰ beginnt und mit jeder weiteren Stelle nach links den Exponenten um 1 erhöht, also 16¹, 16², 16³ usw.

Der Dezimalwert einer hexadezimalen Ziffer kann in der Zeile Zahlenwert dezimal abgelesen werden. Der Dezimalwert entspricht dabei immer der hexadezimalen Ziffer, multipliziert mit dem Stellenwert. Dabei wird deutlich, dass der Dezimalwert sich mit jeder Stelle nach links um das 16-fache erhöht.

Die Umrechnung von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen erfolgt nach folgendem Schema:

• Man beginne von rechts und multipliziere die erste Zahl mit 16⁰.
• Mit jeder weiteren Stelle nach links erhöht sich der Exponent bei der Potenz um 1, also 16¹, 16², 16³ usw.

Beispiel: Die Hexadezimalzahl B12F soll in eine Dezimalzahl umgerechnet werden

• Die 1. Zahl F ist umgerechnet 15.
• Die 2. Zahl ist 2. Diese multiplizieren wir mit 16. 2 · 16 ergibt 32.
• Die 3. Zahl ist 1. Diese multiplizieren wir mit (16x16) 256. Ergibt 256.
• Die 4. Zahl B ist umgerechnet 11. Wir multiplizieren die Zahl mit (16x16x16) 4096. Macht 45056.
• Alle Zwischenergebnisse werden addiert: 15+32+256+45056=45359.

Man sieht, Hexadezimalzahlen umzurechnen ist gar nicht so schwer.

Für die Umrechnung ist ein Javascript auf der Seite Hexadezimalsystem eingebaut. Man braucht nur die Hexadezimalzahl einzugeben, die Umrechnung erledigt das Script.

Auch wenn solche Scripts Hexadezimalzahlen umrechnen können, sollte man das Umrechnen beherrschen. Man kann mit Hexadezimalzahlen auch Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren.

Die Umrechnung zwischen Hexadezimalzahlen und Dezimalzahlen kann auch in die umgekehrte Richtung erfolgen. Eine Möglichkeit ist der Restwertalgorithmus. Dabei fängt man die Ermittlung der 1. Ziffer von rechts an und ermittelt Schrittweise die nächsten Ziffern jeweils links.

Restwertalgorithmus: Bei diesem Verfahren wird die die Dezimalzahl durch die Basis 16 geteilt. Danach wird der ganzzahlige Quotient mit 16 malgenommen und das Ergebnis wird von der Dezimalzahl abgezogen. Der Rest ergibt die Ziffer für die 1. Hexadezimalzahl. Hierbei muss man natürlich aufpassen, dass die Ziffer für den Rest in Hexadezimal notiert wird, z.B. A für 10. Im nächsten Schritt fängt man wieder damit an, den Quotienten durch 16 zu teilen. Diese Schritte wiederholt man solange, bis der Quotient 0 ist.

Beispiel für Restwertalgorithmus anhand der Dezimalzahl 100₁₀:

• 100 : 16 = 6, 6 · 16 = 96, Rest 4: Ziffer für die 1. Stelle (ganz rechts)
• 6 : 16 = 0, Rest 6: Ziffer für die 2. Stelle

Das Ergebnis der Umrechnung mit dem Restwertalgorithmus ist: 64₁₆.

Beispiel für Restwertalgorithmus anhand der Dezimalzahl 1600₁₀:

• 1600 : 16 = 100, 100 · 16 = 1600, Rest 0: Ziffer für die 1. Stelle (ganz rechts)
• 100 : 16 = 6, 6 · 16 = 96, Rest 4: Ziffer für die 2. Stelle
• 6 : 16 = 0, Rest 6: Ziffer für die 3. Stelle

Das Ergebnis der Umrechnung ist: 640₁₆.

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