Elektrische Leistung beim Wechselstrom

Bei der Berechnung der elektrischen Leistung wird zwischen Gleichstrom und Wechselstrom unterschieden. Der Grund hierfür ist, dass die elektrische Spannung und die Stromstärke bei Gleichstrom phasengleich verlaufen. Der elektrische Strom fließt nur in eine Richtung. Die Stromstärke und die elektrische Spannung bleiben gleich. Daher kann die elektrische Leistung beim Gleichstrom einfach mit der Formel P = U · I berechnet werden. Beim Wechselstrom, wozu auch der Drehstrom zählt, sind elektrische Spannung und Stromstärke zwar ebenfalls phasengleich, jedoch nur bei ohmschen Widerständen. Für die momentane elektrische Leistung verwendet man dieselbe Formel, wobei die Formelzeichen in Kleinbuchstaben geschrieben werden. Außerdem wird hinter den Formelzeichen in Klammern ein (t) für die Zeit angehängt, um die zeitliche Abhängigkeit der Werte zu verdeutlichen, da diese aufgrund der ständig ändernden Werte unterschiedlich sind und von der Zeit abhängen. Die Formel für die momentane elektrische Leistung beim Wechselstrom ist bei ohmschen Widerständen p(t) = u(t) · i(t). Die Leistung ist bei ohmschen Widerständen sowohl beim Gleichstrom, als auch beim Wechselstrom nicht negativ, selbst wenn beim Wechselstrom die Strom- und Spannungskurven sich im negativen Bereich befinden, da bei der Multiplikation negativer Werte das Ergebnis positiv ist (Minus x Minus ergibt Plus).

Beim Wechselstrom ändert sich der Wert und die Richtung für die elektrische Spannung periodisch mit der Zeit, wobei der Mittelwert einer Periode Null ist. Dasselbe gilt für die Stromstärke. Je nach Verlauf der Spannungs- und Stromlinie wird dabei unter anderem zwischen sägezahn-, dreieck-, rechteck- und sinusförmigem Verlauf unterschieden. In der Elektrotechnik kommt hauptsächlich der sinusförmige Verlauf des Wechselstroms zur Anwendung und das entspricht dem Sinus in einem Einheitskreis.

Wenn man beim sinusförmigem Verlauf des Wechselstroms den Scheitelwert û (Maximalspannung, Amplitude) als Zeiger im Einheitskreis darstellt, dann stellt die Gegenkathete (Sinus) den Augenblickswert für die elektrische Spannung dar. Ist der Drehwinkel α und der Scheitelwert û bekannt, so kann die momentane Spannung mit den Winkelfunktionen berechnet werden. Nachfolgend ist die Formel für den Augenblickswert u(t) der elektrischen Spannung sowie analog dazu für die momentane Stromstärke i(t) abgebildet, wobei î das Formelzeichen für die maximale Stromstärke ist:

Nicht immer sind die Aufgabenstellungen so einfach, dass man lediglich anhand der Winkelfunktion die Augenblickswerte berechnen kann. Häufig ist nur die Frequenz (f) und die Zeit (t) angegeben, um die Spannung bzw. die Stromstärke zu ermitteln. Die Frequenz gibt an, wie häufig der Strom pro Sekunde hin und her schwingt (Anzahl der Perioden pro Sekunde), wobei jede Schwingung (Periode) einer 360°-Drehung im Einheitskreis entspricht. Die Einheit für die Frequenz ist Hertz (Hz) und bei normalen Wechselspannungen in Haushalten liegt die Frequenz bei 50 Hz.

Eine 360°-Drehung im Einheitskreis entspricht im Bogenmaß 2π und das wiederum entspricht einer Kreisbogenlänge im Einheitskreis. Das ist die abgekürzte Form von 2 · π · r, da r im Einheitskreis 1 ist und somit entfallen kann. Wenn man den Wert für die Frequenz hat, dann weiß man im Grunde, wie vielen Umdrehungen das im Einheitskreis pro Sekunde entspricht und das wird Kreisfrequenz (Formelzeichen ω) genannt. Somit kann die Kreisfrequenz mit der Formel ω = 2 · π · f ermittelt werden. Die Maßeinheit für die Kreisfrequenz ist 1/s oder s^-1. Die Kreisfrequenz bei normalen Wechselspannungen mit 50 Hz beträgt aufgerundet 2 · π · 50 = 314,16 s^-1.

Jedem Winkel kann eine eindeutige Kreisfrequenz zugeordnet werden. Denn, die Kreisfrequenz wächst proportional mit dem Winkel und der Winkel beginnt nach jeder vollen Umdrehung (2 · π) neu bei 0°. Bei einer Frequenz von 2 beträgt beispielsweise der Winkel nach 1 Sekunde 360° und die Kreisfrequenz beträgt 2 · π · 2 = 12,566 s^-1 (2 volle Umdrehungen). Bei einer Frequenz von 4 beträgt der Winkel nach 1 Sekunde ebenfalls 360° und die Kreisfrequenz liegt bei 2 · π · 4 = 25,132 s^-1 (4 volle Umdrehungen). Somit braucht man nur noch die Kreisfrequenz (ω) mit der Zeitdauer (t) zu multiplizieren, um den Winkel und daraus wiederum die augenblickliche Spannung bzw. Stromstärke zu ermitteln. Folgende Formeln können aus den Zusammenhängen abgeleitet werden:

Es kann sein, dass die elektrische Spannung und die Stromstärke nicht phasengleich verlaufen, sondern phasenverschoben. Beispielsweise läuft bei realen Spulen die elektrische Stromstärke der Spannung nach. Das wirkt sich dahingehend aus, dass wenn z.B. die elektrische Spannung seinen Höchstwert bei einem Phasenwinkel von 90° im Einheitskreis erreicht, die Stromstärke zu dem Zeitpunkt unterhalb des Höchstwertes liegt. Dementsprechend ist der Phasenwinkel für die Stromstärke nicht bei 90°, sondern darunter. Die Differenz zwischen dem Phasenwinkel der Spannung und der Stromstärke ist der Phasenverschiebungswinkel (φ).

Ist die Stromstärke der Spannung nacheilend, muss bei der Berechnung der momentanen Stromstärke der Wert um den Phasenverschiebungswinkel φ reduziert werden. Die Formeln bei nacheilender Stromstärke sind wie folgt:

Es kann vorkommen, dass die Stromstärke der Spannung voreilt. In solchen Fällen ist Stromstärkeverlauf nach links verschoben.

Die Formel für Stromstärke ändert sich dahingehend, dass der Phasenverschiebungswinkel addiert wird.

Normalerweise wird bei einer Phasenverschiebung davon ausgegangen, dass ein Signal (Stromstärke oder Spannung) zum Zeitpunkt t=0 mit dem Winkel φ = 0° beginnt. Es kann auch vorkommen, dass das nicht der Fall ist und dass sowohl die Stromstärke, als auch die Spannung beim Zeitpunkt t=0 einen Winkel ungleich 0° hat.