Gebrochene Dualzahlen multiplizieren

Im Dualsystem lassen sich gebrochene Dualzahlen, bzw. die Nachkommastellen einer Dualzahl, genauso multiplizieren wie Ganzzahlen. Hierfür sind Kenntnisse über Multiplikation von Dualzahlen sowie Addition von Dualzahlen notwendig. Man muss dabei berücksichtigen, dass nicht alle gebrochenen Dezimalzahlen in gebrochene Dualzahlen umrechnen lassen. Vielfach kann man nur einen Näherungswert ermitteln. Das ist dem Umstand zu verdanken, dass die Basis im Dezimalsystem 10 ist und im Dualsystem 2. Daher kann man im Dualsystem nur Nachkommastellen exakt darstellen, die aus der Summe der negativen Potenzen (2^-1 bis 2^-n) gebildet werden können. Beispielsweise kann man die Zahl 0,75 exakt als Dualzahl darstellen, da die Zahl aus 0,5 (2^-1) + 0,25 (2^-2) gebildet wird. Diese Zahlen entsprechen Dual 0.1 (0,5) und 0.01 (0,25). Bei 0,876 kann man nur einen Näherungswert ermitteln.

Multipliziert werden Dualzahlen genauso wie Dezimalzahlen. Hierbei hat man sogar eine Vereinfachung, da nur die Ziffern 0 und 1 vorkommen. Man geht dabei so vor, dass man jede Ziffer auf der rechten Seite mit der gesamten Ziffernfolge auf der linken Seite multipliziert und stellenversetzt untereinander aufschreibt. Zum Schluss addiert man die Ziffern nach den Regeln der Addition für Dualzahlen.

Beim Multiplizieren von gebrochenen Dualzahlen muss man überlegen, wie man mit den Kommastellen umgeht, bzw. nach der Berechnung das Komma an die richtige Stelle setzt. Hierbei gibt es folgende Möglichkeiten.

• Man zählt die Nachkommastellen beider Ziffernfolgen, zählt beim Ergebnis von rechts nach links die Ziffern und setzt das Komma an die entsprechende Stelle. Das ist die einfachste Variante.
• Man versetzt vor der Berechnung das Komma in beiden Ziffernfolgen nach rechts, so dass die beiden Kommas entfallen. Wenn z.B. die linke Ziffernfolge 1.110011 ist und die rechte Ziffernfolge 1.11, dann wird aus der linken Ziffernfolge 1110011 und aus der rechten Ziffernfolge 111. Diese beiden Ziffernfolgen werden multipliziert. Beim Ergebnis muss man dann wieder das Komma von rechts nach links zählend um die entsprechende Anzahl versetzen. Hierbei muss man natürlich beide Ziffernfolgen berücksichtigen. Hat man wie in diesem Beispiel das Komma in der linken Ziffernfolge um 6 Stellen, in der rechten Ziffernfolge um 2 Stellen versetzt, ergibt das insgesamt eine Nachkommastelle von 8.
• Eine andere Möglichkeit ist, das Komma in beiden Ziffernfolgen nach rechts zu versetzen, so dass beide Kommas erneut entfallen. Danach nimmt man sich den Anteil beider Ganzzahlen und multipliziert diese, so dass man weiß, wie viele Stellen der Anteil der Ganzzahlen hat. Danach multipliziert man beide kompletten Ziffernfolgen. Durch die Nebenrechnung weiß man, wie viele Ziffern der Anteil der ganzen Zahlen hat. Dann zählt man von links nach rechts und setzt das Komma an die entsprechende Stelle.

Beispiel 1: Die beiden Dualzahlen 11.1 und 11.1 sollen multipliziert werden.

• Man nimmt rechts die 1. Ziffer und multipliziert diese mit der gesamten Ziffernfolge auf der linken Seite. Die Zahl 111 wird aufgeschrieben.
• Der selbe Vorgang wird auf die 2. und 3. Ziffer angewendet, nur mit dem Unterschied, dass die Ziffernfolge 111 jeweils stellenversetzt untereinander aufgeschrieben wird.
• Danach addiert man die drei Ziffernfolgen.
• Die Anzahl der Nachkommastellen beider Ziffernfolgen ist 2. Daher wird beim Ergebnis das Komma so gesetzt, dass 2 Nachkommastellen entstehen.