Gebrochene Dezimalzahlen umrechnen in gebrochene Dualzahlen

Man kann gebrochene Dezimalzahlen in gebrochene Dualzahlen umwandeln. Allerdings gibt es hier einige Einschränkungen. Zunächst einmal muss man die Ganzzahlen (Zahlen links vom Komma) trennen. Die Ganzzahlen kann man ganz gewöhnlich in Dualzahlen umrechnen. Die Ziffernfolge rechts vom Komma kann man nicht immer exakt berechnen. Häufig kann man nur einen Näherungswert ermitteln.

Exakt berechnen lassen sich die Stellen rechts vom Komma, wenn man die Zahl aus der Summe der negativen Potenzen (2-1, 2-2, 2-3, 2-4 usw) bilden kann. Lässt sich die Zahl nicht aus der Summe der negativen Potenzen bilden, kann man nur einen Näherungswert ermitteln und danach runden. Einige Beispielwerte für negative Potenzen:

  • 2-1 = 0,5 (1 : 21)
  • 2-2 = 0,25 (1 : 22)
  • 2-3 = 0,125 (1 : 23)
  • 2-4 = 0,0625 (1 : 24)
  • 2-5 = 0,03125 (1 : 25)
  • 2-6 = 0,015625 (1 : 26)
  • 2-7 = 0,0078125 (1 : 27)

Das bedeutet in der Praxis, dass man z.B. folgende Zahlen in Dualzahlen umrechnen kann:

  • 0,5: Ist die Potenz 2-1
  • 0,75: Ist die Summe der Potenzen 2-1 und 2-2
  • 0,0703125: Ist die Summe der Potenzen 2-4 und 2-7

Die Nachkommastellen gebrochener Dezimalzahlen werden wie folgt umgewandelt:

  • Das Ergebnis wird stellenweise von links nach rechts ermittelt.
  • Man multipliziere die gebrochene Dezimalzahl, inkl. dem Komma und der 0 davor, mit der Zahl 2.
  • Ist nach dem Multiplikationsvorgang die Ziffer vor dem Komma eine 0, notiert man eine 0 zum Ergebnis.
  • Ist das Ergebnis >=1, notiert man eine 1 zum Ergebnis und zieht die 1 von der Zahl ab, so dass wieder eine 0 vor dem Komma steht.
  • Danach fährt man wieder mit Schritt 2 fort, also Multiplikation mit 2 usw.
  • Diesen Vorgang wiederholt man solange, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist oder bis der Rest 0 ist oder bis sich der Rest wiederholt.

Beispiel, um die Dezimalzahl 0,7578125 in Dual umzurechnen:

Multiplikation mit 2 Resultat Ergebnis Potenz Vorgang
0,7578125 • 2 = 1,515625 1 2-1 1 notiert, vom Resultat subtrahiert
0,515625 • 2 = 1,03125 1 2-2 1 notiert, vom Resultat subtrahiert
0,03125 • 2 = 0,0625 0 2-3
0,0625 • 2 = 0,125 0 2-4
0,125 • 2 = 0,25 0 2-5
0,25 • 2 = 0,5 0 2-6
0,5 • 2 = 1 1 2-7 1 notiert, vom Resultat subtrahiert
0 • 2 = 0 Die Berechnung ist hier zu Ende

Das Ergebnis der Umrechnung: 0,757812510 = 0,11000012

0,757812510 setzt sich zusammen aus: 0,510 (2-1) + 0,2510 (2-2) + 0,007812510 (2-7)

Beispiel für eine nicht exakt in Dual darstellbare gebrochene Dezimalzahl

Die Dezimalzahl 0,876 soll in Dual umgerechnet werden.

Multiplikation mit 2 Resultat Ergebnis Potenz Vorgang
0,876 • 2 = 1,752 1 2-1 1 notiert, vom Resultat subtrahiert
0,752 • 2 = 1,504 1 2-2 1 notiert, vom Resultat subtrahiert
0,504 • 2 = 1,008 1 2-3 1 notiert, vom Resultat subtrahiert
0,008 • 2 = 0,016 0 2-4
0,016 • 2 = 0,032 0 2-5
0,032 • 2 = 0,064 0 2-6
0,064 • 2 = 0,128 0 2-7
0,128 • 2 = 0,256 0 2-8
0,256 • 2 = 0,512 0 2-9
0,512 • 2 = 1,024 1 2-10 1 notiert, vom Resultat subtrahiert
0,024 • 2 = 0,048 0 2-11
0,048 • 2 = 0,096 0 2-12
0,096 • 2 = 0,192 0 2-13
0,192 • 2 = 0,384 0 2-14
0,384 • 2 = 0,768 0 2-15
0,768 • 2 = 1,536 1 2-16 1 notiert, vom Resultat subtrahiert
0,536 • 2 = 1,072 1 2-17 1 notiert, vom Resultat subtrahiert
0,072 • 2 = 0,144 0 2-18
0,144 • 2 = 0,288 0 2-19
0,288 • 2 = 0,576 0 2-20
0,576 • 2 = 1,152 1 2-21 1 notiert, vom Resultat subtrahiert
0,152 • 2 = 0,304 0 2-22
0,304 • 2 = 0,608 0 2-23
0,608 • 2 = 1,216 1 2-24 1 notiert, vom Resultat subtrahiert
0,216 • 2 = 0,432 0 2-25
0,432 • 2 = 0,864 0 2-26
0,864 • 2 = 1,728 1 2-27 1 notiert, vom Resultat subtrahiert
0,728 • 2 = 1,456 1 2-28 1 notiert, vom Resultat subtrahiert
0,456 • 2 = 0,912 0 2-29
0,912 • 2 = 1,824 1 2-30 1 notiert, vom Resultat subtrahiert
0,824 • 2 = 1,648 1 2-31 1 notiert, vom Resultat subtrahiert
0,648 • 2 = 1,296 1 2-32 1 notiert, vom Resultat subtrahiert

Man kann die Umrechnung der gebrochenen Dezimalzahl 0,876 weiter durchführen. Bei diesem Beispiel wurde mit der 32. Nachkommastelle aufgehört, was einem Näherungswert von 0,87599999993108210 entspricht. Die Dualzahl hierfür wäre 0,111000000100000110001001001101112. Der Dezimalwert von 0,876 ist zwar nicht exakt darstellbar, allerdings hat man einen sehr guten Näherungswert erreicht.